Централна и вписан ъгъл в работа 6

Днес ние гледаме на друг тип задача 6 - този път с кръг. Много студенти не го харесват и да се окаже трудно. И това е напразно, защото тези задачи са прости. ако знаете някои от теоремата. Или не може да бъде решен на всичко, ако те не знаят.

Преди да говорим за основните свойства, нека да си спомним определението:

Вписан ъгъл - един, чиито връх се намира на самия кръг, и частта изрежете на акорд на кръга.

Централен ъгъл - е всеки ъгъл с връх в центъра на кръга. Неговата страна също се пресичат този кръг и нарязани на нея акорд.

Така че, идеята за вписаните и централни ъгли са неразривно свързани с кръга и акорд в нея. И сега - основното твърдение:

Теорема. Централният ъгъл винаги е два пъти по-вписан, на базата на една и съща дъга.

Въпреки простотата на изложението, има цял клас проблеми 6, който може да бъде решен чрез използването му - и нищо друго.

Задача. Намерете остър ъгъл е, въз основа на акорд, равен на радиуса на кръга.

Нека AB - смята акорд, O - център на кръга. Допълнителна строителство: OA и OB - радиусът на кръга. получаваме:

Помислете триъгълника АВО. Това AB = OA = OB - всички страни, равен на радиуса на кръга. Затова ABO триъгълник - равностранен и всички краища на това от 60 °.

Нека M - в горната част на вписан ъгъл. От ъглите O и M са базирани на една и съща дъгата AB. включен ъгъл М 2 пъти по-малък централен ъгъл О. Ние имаме:

М = О. 2 = 60. 2 = 30

Задача. Централният ъгъл от 36 ° повече от вписан ъгъл, образуван от същия кръгова дъга. Намерете вписан ъгъл.

1. AB - хорда на кръга;
2. Точка О - центъра на кръга, така АОВ ъгъл - център;
3. Точка C - връх вписан ъгъл ACB.

Тъй като ние търсим вписан ъгъл ACB. обозначен с ACB = х. Тогава AOB централен ъгъл е х + 36. От друга страна, на централния ъгъл 2 пъти повече окръжност. В момента има:

Други въпроси = 2 · АСВ;
х + 36 = 2 · х;
х = 36.

Тук откриваме вписан ъгъл АОВ - тя е равна на 36 °.

Обиколка - е ъгълът на 360 °

След прочитане на субтитрите, знаещи читателите вече ще казват: "Уф!" И наистина, в сравнение с ъгъла на кръга не е напълно вярно. За да се разбере това, което искам да кажа, да разгледаме класическия тригонометрични кръг:

Защо тази картина? А фактът, че един пълен оборот - на ъгъла на 360 градуса. И ако го разделим на, да речем, 20 равни части, размерът на всяка от тях ще бъде 360 20 = 18 градуса. Това е, което е необходимо за решаване на проблема B8.

Точка А. В и С са в кръг и го разделя на три дъги, степен мерки, които са едновременно 1. 3. 5. Откриване по-голям ъгъл на триъгълника ABC.

За да започнете, намерете мярката на всеки-градусова дъга. Нека по-малката от тях, равна на х. Фигурата е посочено от дъгата AB. След това до края на дъгата - BC и AC - може да се изрази чрез AB. дъга BC = 3 х; Ас = 5 х. Взети заедно, те осигуряват 360-градусова дъга:

AB + BC + AC = 360;
х + 3 х + 5, х = 360;
9, х = 360;
х = 40.

А сега да разгледаме голямата дъга AC. който не съдържа точка В. Това дъга като съответната АОС централен ъгъл. равна на 5 х = 5 х 40 = 200 градуса.

ABC ъгъл - най-големият от всички ъгли на триъгълника. Той е вписан ъгъл, на базата на една и съща дъга като САО централен ъгъл. Следователно, ъгъл ABC 2 пъти по-малко АОС. В момента има:

ABC = АОС. 2 = 200. 2 = 100

Това ще бъде степента на мярката на по-голям ъгъл в триъгълника ABC.

Кръгът окръжност около правоъгълен триъгълник

Тази теорема много забравя. И напразно, защото някои задачи без B8 не посмя. По-точно, нерешителен, но с обема на изчисленията, че ще заспя, а не стигнете до отговора.

Теорема. Център на окръжност окръжност около правоъгълен триъгълник, се намира в средата на хипотенузата.

Какво следва от това теорема?

1. В средата на хипотенузата е на еднакво разстояние от всички върховете на триъгълника. Това е пряко следствие от теоремата;
2. Медианата привлечени към хипотенузата разделя оригинален триъгълника на две равнобедрен. Това е точно това, което е необходимо за решаване на проблема B8.

В триъгълник ABC, проведохме средната CD. ъгъл С е 90 °, а ъгъла В - 60 °. Намерете ъгъла ACD.

Тъй ъгъл С е равно на 90 °, ABC триъгълник - правоъгълна. Оказва се, че на диска - медианата привлечени към хипотенузата. Така че, ADC и триъгълник BDC - равнобедрен.

По-специално, смятаме, че триъгълник ADC. Тя AD = CD. Но в равностранен триъгълник базовите ъгли са равни - вижте "Task B8: сегменти и ъгли в триъгълника.". Следователно ACD = А желания ъгъл.

По този начин, той остава, за да разберете каква е ъгъл А. За това, ние се обръщаме отново към първоначалния триъгълник ABC. Означаваме ъгъл А = Х. Тъй като сумата от ъглите на всеки триъгълник е 180 °, ние:

A + B + ВСА = 180;
х + 60 + 90 = 180;
х = 30.

Разбира се, последният проблем може да бъде решен по друг начин. Например, че е лесно да се докаже, че BCD на триъгълник - не само равнобедрен и равностранен. Следователно, ъгъл BCD е 60 градуса. Следователно ъгъл ACD е 90 - 60 = 30 градуса. Както можете да видите, можете да използвате различни равнобедрен триъгълник, но отговорът винаги ще бъде един и същ.

• Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа
•