Площта на триъгълника 3

Показани са формули произволни триъгълник намиране области, които са подходящи за намиране на всеки триъгълник зона, независимо от неговите свойства, или ъгли размери. Формулите са представени под формата на снимки, тук е обяснено как да се използва или да обоснове своята коректност. Също в отделна фигура показва съвпадение буквите в формули и графични символи в чертежа.

Забележка. Ако триъгълника има специални свойства (равнобедрен правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите дадени по-долу, както и допълнителна специална, само за правоъгълен триъгълник с тези имоти, с обща формула:

Формула площ на триъгълник

Пояснение на формулите.
A, B, C - дължината на страните на триъгълник, с площ искаме да намерим
R - радиус на вписаната
R - радиусът на окръжността около триъгълника
ч - височина на триъгълник, спадна до страната
р - половината периметър на триъгълник, сумата от 1/2 от неговите страни (периметър)
α - ъгъл, противоположна страна на триъгълника
β - ъгълът противоположната страна на триъгълника б
γ - ъгъл триъгълник противоположната страна в
ha.hb, HC - височина на триъгълника, нека от долната страна на. б. в

Моля, имайте предвид, че тези наименования съответстват на фигурата, която е по-висока от тази, в решаването на реални от геометрията на проблема, който визуално по-лесно да се замени на правилните места от формулата точните стойности.

• Площта на триъгълника е равна на половината от продукта от височината на триъгълника на дължината на страната, на която се понижава тази височина (Формула 1). Правилността на тази формула може да бъде разбрано логично. Ръст, падна върху субстрата ще прекъсне произволен триъгълник на две прави. Ако финала всеки един от тях, за да правоъгълник с размери В и Н, тогава очевидно триъгълници данни за площ е равна точно на половината от площта на правоъгълник (SPR = BH)
• Площта на триъгълника е равна на половината от продукта от двете си страни с синуса на ъгъла между тях (Формула 2) (вж. Пример за решаване на проблема с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда, че за разлика от предишния, той лесно може да се трансформира в нея. Ако ъгълът от B до по-ниски от височината на страничната б, се оказва, че работата от страна на задължително на гама ъгъла на синусови имотите в правоъгълен триъгълник е равна на височината на триъгълника, изготвен от нас, че ще ни даде предишната формула
• Произволна площ на триъгълник може да се намери като продуктът от половината от радиуса на вписан кръг на сумата от дължините на неговите страни (Формула 3), с други думи, трябва да бъде умножена по триъгълника semiperimeter радиус на вписан кръг (така че е лесно да се помни)
• Произволна площ на триъгълник може да се намери чрез разделяне на продукта от четирите му страни на радиуса на окръжността, описана около него (Формула 4)
• Формула 5 представлява определяне площ на триъгълник чрез дължината на страните му и неговата половина периметър (половината от сумата на всички нейни страни)
• херонова формула (6) - представяне на същата формула, без използването на понятието semiperimeter само от дължината на страните
• Площ произволен триъгълник е равна на произведението на квадратни страни на триъгълника на синусите, съседни на тази страна на ъгли, разделен на синуса на ъгъла страна срещу тази двойна (Формула 7)
• Произволен площ на триъгълник може да се намери като произведение на две квадратчета, съставени около него при обиколката на Синеш на всеки от ъглите му. (Формула 8)
• Ако дължината на едната страна е известно и стойностите на два ъгъла съседен на него, площта на триъгълника могат да бъдат намерени като квадрата на страните разделени от двойния размер cotangents тези ъгли (Формула 9)
• Ако само известна дължина на всяка височина на триъгълник (Формула 10), в областта на триъгълника е обратно пропорционален на дължината на тези височини, както във формула чапла
• Формула 11 ни дава възможност да се изчисли площта на триъгълника на координатите на върховете му. са както са дефинирани стойности (х; у) за всеки от върховете. Имайте предвид, че в резултат на стойността трябва да се приема като абсолютна стойност, тъй като координатите на индивида (или дори всички) на върха може да бъде в диапазона отрицателен

Забележка. Следват примери за решаване чрез намиране областта на триъгълник в геометрията проблем. Ако трябва да се реши проблема с геометрия, подобна на тази не е - пише за него във форума. Решенията на функцията SQRT () могат да се използват на мястото на "корен квадратен" символ, който SQRT - квадратен корен символ, и в скоби експресията под радикал. Понякога символът може да се използва за прости radicands √

страни на триъгълника са равни на 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете лицето на триъгълника.

За да се реши този проблем ние използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълника може да се намери чрез дължината на двете страни и синуса на ъгъла ги Mezhuyev и е равна на
S = 1/2 аб γ грях

Тъй като всички необходими данни за решение (според формулата) имаме, ние само трябва да замени стойността на задачата по отношение на формулата:
S = 1/2 * 5 * 6 * грях 60

В таблицата на тригонометричните функции ценности да се намери и замени изразяване стойността на синуса на 60 градуса. Тя ще бъде равен на корен квадратен от три на две.
S = 15 √3 / 2

Отговор. 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно може да напусне 15 и √3 / 2)

Намерете лицето на равностранен триъгълник със страни 3 см.

Площта на триъгълник може да се намери най-формула на Херон:

S = 1/4 SQRT ((A + B + C) (б + в - а) (а + в - б) (A + B-с))

Тъй формула А = В = с равностранен триъгълник площ става:

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните да се увеличи с 4 пъти?

От двете страни на размерите на триъгълника са неизвестни за нас, а след това да се реши проблема, ние приемаме, че дължините на страните са равни на произволни числа а, б, в. След това, с цел да се отговори на въпроса на проблема, ние откриваме областта на триъгълник, а след това да се намерят лицето на триъгълник, чиито страни са четири пъти повече. Съотношението на областите на тези триъгълници и да ни даде отговор на проблема.

На следващо място, ние представяме текстови обяснение за решаване на проблема стъпка по стъпка. Въпреки това, в крайна сметка, същия този разтвор се предоставя в четима графична форма. Всеки може да отиде до дъното на разтвора.

За решения, използвайки формула чапла (вж. Горното в теоретичната част на часа). Тя изглежда по следния начин:

S = 1/4 SQRT ((A + B + C) (б + в - а) (а + в - б) (A + B-с))
(Вж. В дъното на първия низ модел)

произволна дължина от двете страни на триъгълник са дефинирани променливи а, б, в.
Ако страните да се увеличи с 4 пъти, новата част на триъгълника, за да бъде:

S2 = 1/4 SQRT ((4a + 4b + 4с) (4Ь + 4в - 4а) (4а + 4в - 4Ь) (4а + 4Ь -4С))
(Вж. Втората линия на фигурата по-долу)

Както може да се види, 4 - общ фактор, който може да се отчете от четирите изражения на общите правила на математиката.
след това

S2 = 1/4 SQRT (4 * 4 * 4 * 4 (А + В + С) (б + в - а) (а + в - б) (A + B-с)) - на третия модел линия
S2 = 1/4 SQRT (256 (A + B + C) (б + в - а) (а + в - б) (A + B-с)) - четвърта линия

От перфектно извлича корен квадратен от 256, така че ние го извършва на основата
S2 = 16 * 1/4 SQRT ((A + B + C) (б + в - а) (а + в - б) (A + B-с))
S2 = 4 SQRT ((A + B + C) (б + в - а) (а + в - б) (A + B-с))
(Вж. Петият линия чертеж по-долу)

За да се отговори на въпроса, поставен в проблема, ние трябва да се раздели площта на триъгълник, върху първоначалната зона.
Ние дефинираме съотношението на областите, разделяне на експресията на един от друг и намаляване на получената фракция.

S2 / S = 16
(Виж по-долу детайли записа като дроб и да го намали. - В последния ред)

Фигура изчислителни логически решения, описани по-горе, са показани вече под формата на (един след друг)

Отговор. Площта на триъгълника ще се увеличи с 16 пъти