Неравенството и неравенството на системата от неравенства и техните свойства
ГЛАВА 4. неравенство и неравенството на системата
4.1. Неравенства и техните свойства
Неравенство - съотношението между броя показващи кои от тях са по-големи (повече или равно) или по-малко (по-малко от или равно на) от друга страна.
Записване и означава, че не е равно на.
Ако> знакът се съдържа в неравенството или Or. а в другата - знака на В и С> D имат същия знак и неравенството: Д - противоположен знак.
Свойства на числовите неравенства.
1) Ако> б, след б б.
2) Ако> б и б> С, след това> С.
3) ^ Ако> б, след това за всеки в: а + в> Ь + с, т.е. неравенство остава в сила, ако и за двете части от него, за да добавите един и същ номер.
Следствие. Всеки брой може да се прехвърля от едната страна на другата, промяна на знака на броя прехвърлени към обратното.
4) Ако> б и> 0, тогава ав> бв; ако> б и б ф C> г, А + C> Ь + г. т.е. две идентични знак на неравенство може termwise пъти ако> б ф в б-д; Две обратен знак на неравенство може да се изважда, оставяйки следа от неравенство, което се изважда друг неравенство.
6) Ако А, В, С, D - положителни числа и> б, в> г, АС> BD, т.е. един и същ знак на неравенство, в който лявата и дясната страна са положителни, може да се размножава termwise; това води до неравенство знака на w д.
7) Ако ^ а и б - положително число и> б, след това за всяко естествено число п, следното неравенство AN> млрд.
8) Ако и б - положително число и> б, след това за всяко цяло число п> 2 неравенството.
Имоти 1) - 8) са валидни и за не-строги неравенства. Това е следствие от действието на свойствата 1) - 8) за строги неравенства и познатите свойства на числени уравнения.
Например, ако ≥ Ь, след това б ≤a, и обратно, ако б ≤a. тогава ≥ б.
Информацията 1) - 8), монтирани за цифрови неравенства задържане за всички неравенства форма А> В, А VA + C> B + C,
където изразите А, В, С, се считат в общата част на техния обхват толерантност.
4.2. Доказателство за някои от неравенствата
Помислете първо показанията на някои от най-големите неравенства.
2). където равенство се постига само в случаите, когато номера А и Б имат същите признаци и най-малко един от тях е нула. Тъй като след това желания неравенството е под формата, и това неравенство се квадратура да са еквивалентни, т.е. ≤ аб | аб |, това е очевидно. Неравенството е доказано.
3) | а - б | ≥ | и | - | б |. В действителност, = (а - Ь) + б. следователно
4) ax2 + BX + s≥ 0 ако> 0 и D = b2-4as≤0. Равенството се постига само когато D = 0 и х =.
5) ако ≥ 0, Ь ≥ 0. равенство се достига само при = б.
Броят е средната стойност на числа А и В и цифрите - тяхната средна геометрична.
Средноаритметичната стойност на две неотрицателни цели числа, не по-малко, отколкото на геометрична стойност:
За да докаже това смятаме, че разликата.
Следователно, с равенство се постигне само, когато това е възможно само с А = В.
Концепциите на средноаритметичните стойности и средна геометрична да бъдат вписани и п неотрицателни числа А1, А2, .... an.V В този случай, неравенството: къде равенство се постига само когато a1 = a2 = ... = един.
6) ако> 0 и б> 0, с равенство постига само когато а = б. В действителност, числа са положителни. Ето защо, предвид средната аритметична величина цифрите и не по-малко, отколкото на геометрична стойност: или; равенство, само когато =, т.е. когато А = В. тъй като А и Б - са положителни.
Ние се обръщаме към доказване на по-сложни неравенства. Методи за доказване са както следва:
Желана неравенство от трансформации на базата на свойствата на неравенствата и запазване на тяхната равностойност, намаляване на неравенството, която е известна справедливост.
Чрез еквивалентни трансформации очевидни или известни неравенство намалява до желаната неравенството.
Се смесват първия и втория методи, т.е. преобразуване на двете известни и доказано неравенството.
Използването на тези методи в следващите примери показват.
Решение. Добавен три добре познати на неравенството:
Пример 2 За да се докаже, че (А + В) (б + в) (а + в) ≥8abc. ако, b.c≥0.
Решение. Увеличаването на неравенството ,.
Пример 3. За да се докаже, че ако> 0, 0 и 0, Ь> 0.
Решение. Ако приемем, че се пише, както се изисква неравенството (х> 0, у> 0), което е еквивалентно на известното x3 + Y3> XY (х + у) (вж. Неравенство 7)). Неравенството е доказано.
^ 4.3. неравенства решение с едно неизвестно
Определение. Решение на неравенство се нарича стойността на неизвестното, в които това неравенство се превръща в истински числено неравенство.
* Решаване на неравенството - това означава да намерите всички стойности на неизвестното, в които това неравенство е вярно, или да се установи, че тези неизвестни стойности не са налице.
Две неравенства се наричат равнопотенциални ако всяко решение на един от тях е решение на другата, и обратно. Ако и двете неравенства нямат никакви решения, те също са еквивалентни. Например, х2 + x4 + 1 4. 0.
Това неравенство може да се запише във форма брадва> -В на. Следователно ние получаваме ако> 0. и ако 0, ако 3 (х - 2) - 4 (х + 1).
Ние се опрости двете страни на неравенството: разкрият скобите и подобни термини. Ние получаване на 2 - 6 - 1> 3-6 - 4 - 4 2x-7> от 10 3 -x> -3; Това означава, х> -1 - неравенството първа степен.
Наборът от всички числа х, които отговарят неравенството х> - 1. изобразена върху реалната ос на гредата (-1 + ∞).
Пример 1. решаване неравенството 2 (х - 1) + 1> 3 - (1 - 2).
Решение. Опростяването неравенство, ние получаваме 2 - 2 + 1> 3 - 1 + 2,
2x-2х> 2 + 1 или 0> 3. Това неравенство все още няма решения, като лявата му страна е равна на нула за всички х, а неравенството 0> 3 - погрешно.
Отговорът може да бъде написано кратко като: (няма решения).
^ 4.3.2. квадратен неравенство
Square или неравенство неравенство наречена втора степен неравенство форма ax2 + BX + в V 0 (а ≠ 0); където А, В, С - предварително определен брой, х - неизвестен, и символ V може да бъде всеки от етикетите> 2 + BX + С (≠ 0). Въвеждане и изтъкване на скоби и пълен площад, моля, напиши квадратното трином под формата на:
където D = b2-4as - на дискриминантата на квадратичен полином. В следните случаи:
б) ако 2 + BX + С 2. От това следва, че в случай на
D = b2-4ac 2 + BX + C> 0 и ax2 + BX + в ≥ 0 разтвор са всички реални числа х за> 0 и нямат решения за 2-4as BX + в 2+ 2+ BX + в не ≤0 решения са> 0 и са валидни разтвор редица х 2; когато тя приема стойността нула.
Следователно, в случая на ^ D = 0: 1) неравенство ax2 + BX + C> 0 е всяко решение, ако> 0, и няма разтвори, ако a2 + BX + в 0;
3) неравенство АН2 + BX + s≥ 0 има някаква разтвор х. ако> 0. и уникален разтвор, ако a2 + BX + в 0 ≤ х е всяко решение. ако 0.
III. D> 0. В този случай квадратен трином да бъдат отчетени: АН2 + BX + с = а (х-х1) (х-х 2), където X 1 и X 2 - реално и различни корени квадратичен полином АН2 + BX + С = 0.
Ние даваме геометрична интерпретация. График квадратичен полином у = ax2 + BX + С (≠ 0) е парабола. Разположението на този парабола по отношение на оста х за различни случаи е показано на фиг. 4.1.
Графично начин за решаване на квадратни неравенства ще бъдат разгледани в 4.7.
Пример. Решете неравенството:
а) х 2 - 5x + 6> 0; б) -2x 2 + х + 1 ≥ 0; в) -2x 2 + х - 1 0; квадратичен полином корени са реални и различни: Х1 = 2, Х2 = 3. Следователно h2-5h + 6 = (х2) (х 3), и това става неравенство (х2) (х - 3)> 0.
Разтвор на неравенството е номер х 3 (както положителен фактор и продуктът на тяхната положителна).
б) D = 1 -4 ∙ (-2) = 9> 0; квадратичен полином корени са реални и различни: където Следователно, ние имаме .или (чрез разделяне на двете страни на неравенство от отрицателно число знак неравенството е обърната). Неравенството задоволи всички числа в интервала
а) D = 1 - 4, ∙ (-2) (-1) 2 отрицателен. Square трином -2h2 + х - 1 за всяко х отнема само отрицателни стойности.
Отговор. х - произволен брой.
^ 4.4. Системи за неравенството в един непознат
Нека няколко неравенства с едно неизвестно.
Комбинацията от тези неравенства се нарича системата от неравенства с едно неизвестно. Решение на системата - е стойността на неизвестното, в който всички системи на неравенство се обръщат в правилната числено неравенство.
Решете системата на неравенството - това означава да намерите всички решения на системата или да се установи, че те не са.
Две системи за неравнопоставеността наричат еднакво силен, ако всяко решение на един от тях е решение на другата и обратно. Ако и двете системата на неравенството не разполагат с решения, те също се считат за еквивалентни.
Пример. Решете системата на неравенството
Решение. Нека да решим първото неравенство: SX -2-4. Това важи и за х> -2. Ние решаване на втория неравенство: 2x-1> 5x-4 -3 Н> -3, х 0 е същата като двойно неравенство
т.е. ако> 0, неравенството (4.5.1) е еквивалентна на неравенство (4.5.2).
В действителност, ако х> 0, | х | = X; неравенство | х | и (4.5.3)
където> 0 показва, че х> а и Х; ако х или х и (а> 0), а след това, разбира се, | х |> а; ако х е 0), -x,> и или | х |> а.
По този начин, при условие | х |> а (а> 0) означава, че върху реалната ос х намира на правото на всяка една или наляво от точката а (фигура 4.4.).
Пример. За решаването на неравенството | 2x -3 | ≤5.
Решение. До имота 1) Това неравенство е еквивалентно на двойното неравенство -5≤2h-3≤5. Тъй като двойно неравенство --5≤2h-3≤5 означава набързо написана две неравенства -5 ≤ 2х - 3 и 2 - 3 ≤5. е възможно да се прилагат основните свойства на неравенството. Като прибавим към всяка страна на неравенството - 5≤2h - 3≤5 номер 3. Преминете -2≤2h≤8 където се раздели всяка страна на номер 2, ние откриваме, че един ≤x≤4. Множество решения е интервала [1; 4].
Пример. За решаването на неравенството | 1 - х |> 3.
Решение. Тъй | 1 -x | = | х-1 | имаме | х - 1 |> 3. Според имота 2) Това неравенство е изпълнено само когато х - 1> 3 или х - 1 х 4 или 4 х 2 + 4 + 4 + 2 2- 3 2. Намерете корени X1 = 1 и Х2 = 2 за да се разложи трином квадратните мултипликатори: х2 + 3 2 = (х1) (х2).
X = 1 и х = 2 е разделен на три ос числени интервал. От разширяването на квадратното полином, то следва, че във всеки от тези интервали трином запазва своя знак. Ако се движите по реалната ос от ляво на дясно, знака на квадратното полином ще се промени: плюс, минус, плюс, промяната в знак се появява само при преминаване през основата на тричлен. низ от символи е показана на фиг. 4.5.
Square трином х2 + 2х 1 = (х - 1) 2 при преминаване през точката х = 1 (корен трином) не променя знак (фигура 4.6.).
За решаването на формата (4.6.1) от неравенството интервали трябва да бъдат:
намерите всички реални корени на полиноми Р (х), Q;
остави само от корените намерени от тези, които не са корените на полиноми Р (х) и Q (х) и да осигури тези корени във възходящ ред: x12 + 2х + 2 и - 2x2 + х-1 отрицателен. Затова трином вземат стойностите на един и същ знак, който съвпада със знака на коефициента на х 2:. х2 + 2х + 2> 0. -2h2 + х - 01 март като "тестови точки" могат да х = 0; х = 1,5; х = 2,5; х = 4. В точка х = 0 фракция; Това означава, че когато X 2≥ 0 (х - 3) 4≥ 0, (х + 2) 3 със същия знак (х + 2) за всеки X; х = 0 - разтвор на това неравенство, когато х = 1, х = - 1, х = 3 фракция става безсмислено. получаваме неравенството
и решаването от интервали (фиг. 4.8). Имаме ≤h 3 -2.
^ 4.7. Графично решение на неравенството и техните системи
4.7.1. Неравенства с едно неизвестно и техните системи
Пример 1. Решаване графично неравенство - 3h2- 5х + 2> 0.
Решение. Графика -3h2- трином Y = 5х + 2 - парабола клонове на които са насочени надолу. Намираме корените на трином: Х1 = - 2 и Х2 = 1/3. Следователно парабола пресича оста х в тези точки (фиг. 7.9). -3h2- неравенство 5х + 2> 0 отговарят на тези стойности на х. при която точка на параболата лежи над оста х, т.е. като брой х. че 1 -2.
Вградени направо х + 2y> 1. Тази линия не минава през началото. Ето защо, като контролна точка е препоръчително да се вземе точка O (0, 0). Заместването на координатите на точка O от (0, 0) в неравенството, ние получаваме неправилно неравенство 0> 1. Това означава, че точка О на (0, 0) не спада към решенията за неравенство. С други думи, времето на равнината, определена от неравенството не съдържа точка O (0, 0). Фиг. 4.11 изисква половината-сенчести.
Като цяло, набор от неравенството на разтворите е ограничена или неограничена област равнина X0Y на. линия, точка, празното множество.
Пример 2: решаване графично системата на неравенството
Решение. От 2 х + у 2. Наборът от разтвор на неравенството х + у 2 и линия у = х - 1. Комплектът даден чрез система от неравенството, се състои от точки, лежащи на у парабола = 1 - х2 или по-долу и едновременно на линията Y права = х -1 или над нея (фиг . 4.13).