набор от числа

Наборът от естествени числа за образуване на числото 1, 2, 3, 4, използвана за броене на обекти. Наборът от всички числа обикновено е обозначен с буквата N:

Тази безкрайна поредица, той има най-малък елемент 1 и е най-големият елемент. Понякога, за да естествени числа се добавят към 0, а след това тя ще бъде най-малкият елемент.

Присъединителните Закони числа

1. За всяко положително числа А и В, на равенство + б = б + а. Това свойство се нарича комутативен (комутативен) допълнение на закона.

2. За всяко физическо номера а. б. в равенство (А + В) + с = а + (В + С). Това свойство се нарича sochetalnym (асоциативен) добавяне на закона.

Законите на умножение на естествените числа

3. За всеки положителни числа а и б, на равенство аб = ба. Това свойство се нарича комутативен (комутативен) умножение право.

4. За всяко физическо номера а. б. на равенство в (аб) C = а (бв). Това свойство се нарича sochetalnym (асоциативен) умножение право.

5. За всички стойности на а. б. в равенство (А + В) с = променлив + бв. Това свойство се нарича разпределителни (разпределителни) умножение право (съгласно допълнение).

6. За всички стойности на истинско равенство на * 1 = A. Това свойство се нарича закона за умножение по един.

В резултат на добавянето или размножаването на две числа винаги е положително цяло число. Или, с други думи, тези операции могат да се извършват, като се задържи в множеството на естествените числа. При изваждане и деление не е възможно да се каже: да, на номер 3 не може да остане в множеството на естествените числа, се изважда числото 7; броят 15 не могат да бъдат разделени в четири равномерно.

Признаци на делимост на естествените числа

Делимост сума. Ако всеки термин е разделен на определен брой, а след това сумата се дели на това число.

Разделение на продукт. Ако работата е най-малко един от факторите, се дели на някакъв номер, след което продуктът се дели на това число.

Тези условия се отнасят за количеството и за продукта, са достатъчни, но не е необходимо. Например, продукт 12 * 18, разделена на 36, въпреки че нито 12 нито 18-36 не са разделени.

Делимост на 2. За да бъде положително число се дели на 2, ако и само ако последната му цифра е дори.

Делимост на 5. За да бъде положително число, кратно на 5, ако и само ако последната му цифра е 0 или 5.

Симптом делимост на 10. Към естествено число се дели на 10, е необходимо и достатъчно броя единици е 0.

Симптом делимост на 4. За естествено число, включващ не по-малко от три цифри се дели на 4, е необходимо и достатъчно условие за последните цифрите са 00, 04, 08 или двуцифрено число, образувано от последните две цифри на номера, се дели на 4.

делимост Симптом 2 (9). За естествено число неделими от 3 (9), е необходимо и достатъчно, че сумата от числата разделена на 3 (9).

Помислете за брой линия до началото на препратката координата на точката О. номер нула върху него ще посочи О. Числата са разположени на недвижими линия в предварително определена посока, наречена положителни числа. Да предположим, че по брой линия се определя с координатната точка А 3. съответства на положителна номер 3. Отлагане сега три пъти единичната интервала от точката О. в обратна посока към определената стойност. След това ние получаваме точка А ". Точка симетричен относно произхода О. координати на точка А "ще бъде броя - 3. Тази фигура 3. номера добавка обратни разположен върху реалната линия в посока, обратна на посочените наречени отрицателни числа.

Numbers противопоставящи естествена форма набор от числа N ':

Ако ние комбинираме множество N. N "и сек. получаваме набор Z на всички цели числа:

За числа коригират всички горепосочени събиране и умножение законите, които са валидни за естествените числа. В допълнение, добавя следната изваждане на законите:

За да бъде възможно функционирането на раздели с цели числа и да е номер, различен от нула, вход фракция:

, където а и б - б са цели числа и не е равна на нула.

Ако набор от цели числа, за да се свържете множеството на всички положителни и отрицателни фракции, получаваме снимачната площадка на рационални числа Q:

Освен това, всеки число е рационално число, тъй като, например, броят 5 могат да бъдат представени като когато на числителя и знаменателя - числа. Важно е при операции на рационални числа, единият от които трябва да е цяло число.

Законите на аритметични операции върху рационални числа

Основното свойство на фракции. Ако на числителя и знаменателя на тази фракция, умножена или разделени от едно и също физическо номера, можете да получите един изстрел, който е равен на този:

Това свойство се използва за намаляване на фракции.

Добавянето на фракции. Добавянето на фракции се определя, както следва:

Така да се каже, за да добавите фракции с различни знаменатели са намалени до общ знаменател. На практика, когато присъединителни (изваждане) фракции с различни знаменателите фракции се редуцират до най-малкия общ знаменател. Така например, по следния начин:

За да добавите фракции със същите числителите достатъчно, за да сгънете числителите и знаменателя остават същите.

Размножаване на фракции. Размножаване на фракции се определя, както следва:

Това е, за да се размножават една малка част от една малка част е необходимо да се умножи по числителят на втората част и пишат на продукта в числителя на новата фракция в числителя на първата фракция, знаменателя на първата фракция, умножена по знаменателя на втората част и запишете нов продукт в знаменателя на фракцията.

Разделяне на фракции. Участък от фракции се определя, както следва:

Това е, за разделяне на фракция от фракция числителя на първата фракция трябва да бъде умножена по знаменател на втората фракция и продуктът на нов запис в числителя на фракцията, знаменателят на първата фракция, умножена по числителя на втората фракция и продуктът на нов запис в знаменателя на фракцията.

Изграждането на фракцията на енергия с естествен степенен показател. Тази операция се определя, както следва:

Това означава, че за изграждането на степента на числителя на фракцията на възвишеното в степента и знаменателя се повишава до тази степен.

Повтаряйки десетични

Теорема. Всяко рационално число може да бъде представена като краен или безкраен периодично фракция.

Последователно повтаряне група цифри след десетичната точка в десетичната броя се нарича период и краен или безкраен десетична дроб с период на връзка се нарича периодично.

По този начин всеки краен знак счита безкрайна периодична фракция с нула в периода, например:

В резултат на събиране, изваждане, умножение и деление (с изключение на деление на нула) две rationals - също рационално число.

На номер линия, която ние сме се счита във връзка с набор от числа може да бъде на мястото на което няма координати във формата на рационално число. По този начин, не е рационално число, чийто квадрат е равно на 2. Следователно, броят не е рационално число. Тъй като няма рационални числа, чиито квадрати са 5, 7, 9. Следователно са ирационално номера ,. То е ирационално число и.

Не ирационално число не могат да бъдат представени като периодична дроб. Те са под формата на не-периодични фракции.

Комбинирането на групи от рационални и ирационални числа представлява съвкупност от реални числа R.

Аксиоми на действието на реални числа

добавяне на аксиоми. За всяка една. б. R в една от множеството на реалните числа имаме следните свойства:

IV. За всичко ∈ R, съществува редица б ∈ R. че а + б = 0. Този брой се нарича обратна брой б и е означен с - един.

Аксиома IV позволява въвеждането на операцията за изваждане от списъка с реални числа за разликата а - б т.е. съвкупността от + (- б).

Аксиоми умножение. За всяка една. б. R в една от множеството на реалните числа имаме следните свойства:

VIII. За всяка ненулева номер ∈ R, съществува редица б ∈ R. че AB = 1. Този номер б се нарича обратна броя на и се означава.

Аксиома VIII позволява операцията по въвеждане разделение в комплекта на реални числа при разбира продукт, където В ≠ 0.

Archimedean собственост. За всеки реални положителни числа, а и б, съществува естествено число п. че Na> б.

Комплексни числа се въвеждат се дължи на факта, че реалните числа достатъчно за решаване на който и да е квадратно уравнение с реални коефициенти. Най-простият на квадратно уравнение, които нямат корени сред реалните числа, има

Разтворът е както следва: Х = - 1. х = √-1,

√-1 тук - корен квадратен от минус един - имагинерната единица, означена с буквата аз.

Комплексни числа и операциите по тях имат толкова много големи възможности, че те се разглеждат в отделна статия на сайта:

Не-празен комплект (обикновено номера) се нарича алгебрични структура, ако определена при всички операции, които имат определени свойства. В математиката често се счита за алгебрични структури, като например групата и поле пръстен.

Група е краен или безкраен брой (обикновено номера), на която:

1) се определя операция (например, умножение), което може да се направи без да се излиза от групата;

2) за множество елементи sochetalny (асоциативен) Act (за всяка една. Б. С на равенство (аб) се извършва в = а (бв)).

3) има така наречената един елемент д;

4) За всеки елемент на този набор има обратен елемент така, че със стъпалото.

Ако сте комутативен (комутативен) група закон (който и да е А и Б, за равенство аб = ба), след като група се нарича комутативен или Abelian група.

Група, където операцията умножение се нарича мултипликативна група. Ако групата е допълнение операция, групата се нарича добавка. В този случай, един елемент Z появява като един елемент. и за всеки елемент има един елемент срещу (- а), за които (- A) = а + с + (- а) = Z.

Физически номера N образуват група срещу умножение. Добавяне като операция група на множеството на естествените числа, не е възможно да се извърши, тъй като нулата е извън набор N. Набор от реални положителни числа е група по отношение на умножение и множеството от всички реални числа R - група относно допълнение (на този комплект не може да влезе реципрочен на нула).

Комплектът се нарича областта, ако този набор от най-малко два елемента и за тяхното

1) операция допълнение;

1 ") се определя от операцията умножение;

2) за добавяне асоциативен (асоциативен) Act се извършва;

2 ') за размножаване извърши асоциативен (асоциативен) закон;

3) добавяне изпълнен комутативен (комутативен) закон;

3 ') за размножаване извърши комутативен (комутативен) закон;

4) изваждане операция е възможно;

4 ') е е задоволителен операция деление от деление на нула.

За всяка област елементи а и б съществува елемент х. че а + х = б.

За всяка област елементи а и б съществува елемент у. че а * у = б. ако ≠ 0.

За област, в разпределението на мощност (разпределение) правото на размножаване (по отношение на добавяне): (А + В) с = променлив + бв.

Имате набор от комплексни числа, реални числа, рационални числа и числа имат една обща черта: те могат да извършват операции на Освен това, умножение и изваждане, макар и да остава в границите, установени.

Всеки набор от числа, която съдържа сумата, на продукта и неговото разликата на всеки две числа, наречен на ринга.

Образуват пръстен, например, дори номера. На свой ред нечетни числа не образуват пръстен, тъй като количеството на нечетен брой - четно число.

Алгебрични структури често се наричат ​​просто като "алгебра". Те се използват в абстрактното моделиране. По-специално, те могат да бъдат приложени в програмирането. Например, когато е необходимо да се определят правилата и свойствата на всяка структура и да се забрани добавянето на този елемент структура, която (допълнение) би нарушило правилата и свойствата на структурата.