Изчисление на матрица детерминанта в MS Excel - съвместим с Microsoft Excel 2018, Excel 2018

Изчисляваме определящи (детерминанти) на матрицата чрез MDETERM () или английски език. MDETERM, разлагане на ред / колона (3 х 3) и определението (до 6 порядъка).

В детерминанта на матрицата (Det) може да се изчисли за квадратни матрици само, т.е. чийто брой редове е равен на броя на колоните.

За да се изчисли детерминантата в MS EXCEL има специална функция, MDETERM (). аргумент функция трябва зададени позоваване на редица клетки (масив), която съдържа елементите на матрицата (вж. например файл).

Масивът може да се определи не само като набор от клетки, като А7: В8. но също масив от константи. например MDETERM = (). Записване с константите на масива не позволява посочва елементи в отделни клетки и се поставят в клетка заедно с функция. Масивът в този случай е посочено от линии: например, първо, на първа линия е 5, 4, след това през дебелото черво следния ред 3 е записана; 2. Елементите са разделени с запетая.

За матрици от ред 2 може да бъде детерминантата може да бъде изчислена като се използва без MDETERM (функция). Например, за по-горе израз матрица = А7 * B8-B7 * A8 ще се върне на същия резултат.

За матрица от ред 3, поставени например в A16 в диапазон: 18. сложен експресия = A16 * (B17 * С18-С17 * В18) -B16 * (А17 * С18-С17 * А18) + С16 * (А17 * B18-B17 * А18) (разширяване в един ред).

например файл за 3 х 3 матрица детерминанта на също се изчислява чрез разлагане на колоната и Sarryusa правило.

свойства на детерминанта

Сега някои от свойствата на определящ фактор (виж например файл.)

• Най-определящ фактор на матрицата е равна на транспонирана определящ фактор за оригиналната матрица
• Ако всички елементи в матрица на най-малко една от редиците (или колоните) са нула, детерминантата на тази матрица е нула
• Ако сменяте два всеки ред (колона), детерминантата на получената матрица е обратното на оригиналния (т.е., промяна на знака)
• Ако всички елементи на един ред (колона) се умножава по същия брой к, тогава детерминанта на получената матрица е равна на детерминанта на оригиналната матрица умножена по к
  
• Ако матрицата съдържа редове (колони), които са линейна комбинация от останалите редове (колони), на определителят = 0
• Подробности, (A) = 1 / Подробности (А-1), където А -1 - обратна матрица на матрица А (А - квадратен неособена матрица матрица).

Изчисляването на определящ фактор за определянето на матрица (до около 6 включително)

Както беше показано по-горе, за да се изчисли матрици на поръчки 2 и 3 има достатъчно прости формули и разпоредби. За да се изчисли детерминантата на матриците от по-висок ред (без MDETERM () функция) ще трябва да си припомним дефиницията:

Детерминанта на квадратна матрица за п х п е сумата съдържащ п! условия (= FACT (п)). Всеки термин е продукт п на елементите на матрицата, с фактор (-1) се появява всеки продукт съдържа елемент от всеки ред и от всяка колона на матрицата А. Преди к-ти план. ако елементи на матрицата в продукта с цел на линия номер и номера на инверсии в к-тия пермутация от множеството нечетни числа колона.

където (a 1. α 2. αn) - пермутация на цели числа от 1 до п. N (α 1. α 2. αn) - броят на инверсии в пермутация. сумиране отива над всички възможни пермутации на наш ред.

Ние се опитваме да разберем този комплекс определяне на матрица например 3х3.

За матрица 3 х 3, съгласно определенията, броят на условия е 3! = 6 и всеки термин на продукта се състои от 3 елементи на матрицата. 6 показва всички условия, необходими за изчисляване на определящ фактор за 3x3 матрица:

А21, А12 и т.н. - елементите на матрицата. Сега нека да обясни как са се образували на индексите на елементите, т.е. Затова, например, там е термин a11 a22 * * а33 и a11 * не * a22 a13.

Виж формулата по-горе (вж. Detection). Да приемем, че вторият индексът на всеки елемент на матрицата (1 до п) на матрицата съответства на брой колона (въпреки че това може да бъде броят на ред (това не е важно, защото детерминантите на матрица и нейното транспониране матрицата са равни.) По този начин, вторият индекс на първия елемент в продукта е винаги 1, а вторият - 2, 3. Тогава трети първите индекси на елементите съответстват на броя на линия, и в съответствие с дефиницията, трябва да се определят от пермутация на цели числа от 1 до 3, т.е. набор от пермутации (1 , 2, 3).

Сега разбирам защо има a11 a22 * * A13 между условията, тъй като съгласно определенията (съдържа във всяка работа елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата А), и в този термин не елемент на ред 3.

Забележка. Пермутации на набор числа N (без повторения) е всяка поръчка на комплекта, различаващи се един от друг само по реда на съставните им елементи. Например, даден набор от числа 3: 1, 2, 3. От тези цифри могат да бъдат 6 различни пермутации: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), ( 2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Виж член Пермутации без повторение :. Комбинаторика в MS EXCEL

Броят на пермутации на набор от 3 числа = 3! = 6 (което, разбира се, е равен на броя на термини в израз за изчисляване на определящ фактор, тъй като всеки план отговаря на различен пермутация). За матрица 3x3 всички пермутации са показани в забележка горе. Тя може да се види, че във всеки термин от първите индекси на елементите са равни на съответните номера в пермутацията. Например, за да a21 * а12 * а33 термин, използван пермутация (2, 1, 3).

TIP. За матрица от ред 4 има 4! пермутации, т.е. 26, което съответства на Терминът 26, всеки от които е продукт на различни елементи от 4 матрицата. Всяка от 26-пермутации могат да бъдат намерени в търсене на всички възможни пермутации в MS Excel.

Сега, когато подредени с условия, които определят фактор преди всеки термин (който може да бъде 1 или -1). Фактор се определя от броя на инверсии съответните паритет пермутация.

Забележка. Инверсията на пермутации (и паритет на броя на инверсии) може да се чете, например, в статията пермутации без повторение: Комбинаторика в MS EXCEL

Например, първият Терминът съответства на пермутация (2, 1, 3), в която инверсия е 1 (нечетен брой) и, съответно, до степента -1 1 -1. Вторият термин съответства на пермутация (2, 3, 1), в която две инверсии (четен брой), и съответно, -1 е равно на 1 степен 2 и т.н.

Обобщавайки всички условия: (-1) * (a21 * а12 A33 *) + (+ 1) * (a21 * а32 A13 *) + (- 1) * (a11 * а32 А23 *) + (+ 1) * (a11 * A22 A33 *) + (- 1) * (а31 * A22 A13 *) + (+ 1) * (* a31 a12 * А23) се получава стойността на детерминанта.

В пример 4+ файл на листа, и реда на Edit матрица чрез брояч контрол. можем да изчислим определящ фактор за цел до 6 включително.

Трябва да се има предвид, че изчисляването на матрицата на ред 6 в израз е използван 720 термини (6!). За 7-ми ред ще трябва да се направи таблица за 5040 и пермутации, съответно, за да се изчислят 5040 термини! Т.е. без MDETERM () не прави (добре, или можете ръчно да се изчисли детерминантата от Гаус).